Manche mögen zu Weihnachten eine klassische Tanne im Wohnzimmer. Andere schwören auf Fichten. Von denen, die im Vorjahr eine Tanne hatten, steigen 10 Prozent auf Fichten um. Und von denen, die eine Fichte hatten, bleiben nur 60 Prozent bei einer Fichte, der Rest wechselt zur Tanne. Das geht schon seit Jahren so, und der Gesamtanteil der Tannen- beziehungsweise Fichtenkäufer in der Bevölkerung ist konstant.
Aufgabe:
Wie muss ein Weihnachtsbaumverkäufer sein Sortiment gestalten, um den richtigen Anteil an Tannen und Fichten zu haben? Konkret, wenn ein Weihnachtsbaumhändler nur Tannen und Fichten anbietet, welchen Anteil an seinem Sortiment soll jede Baumart haben?
Antwort:
Er muss 20 Prozent Fichten und 80 Prozent Tannen im Sortiment führen.
Der Gewinner vom 6. Dezember "Der richtige Weihnachtsbaum" ist:
Julius Geppert aus Darmstadt
Es gab insgesamt 380 Einsendungen. Fast alle Teilnehmer haben richtig geantwortet.
Lösung:
Wir bezeichnen die Anteile der gekauften Fichten in Jahr n mit fn und der Tannen mit tn. Dann gilt schonmal tn + fn = 1. Außerdem wissen wir, dass sich der Anteil der Fichtenkäufer aus 60 Prozent der Fichtenkäufer des Vorjahresund zehn Prozent der Tannenkäufer des Vorjahres zusammensetzt. Es gilt also (1)
fn+1 = 0,6 • fn + 0,1 • tn
Analog gilt bei den Tannenkäufern, dass 90 Prozent der Tannenkäufer des Vorjahres dabei sind und 40 Prozent der Fichtenkäufer. Folglich gilt (2)
tn+1 = 0,4 • fn + 0,9 • tn
Wenn, wie in der Aufgabe behauptet, der Anteil der Tannen- und Fichtenkäufer über die Jahre konstant ist, dann können wir annehmen, dass
fn = fn+1 = F und tn = tn+1 = T
Eingesetzt in die beiden Gleichungen (1) und (2) ergibt sich das Gleichungssystem
F = 0,6 • F + 0,1 • T
T = 0,4 • F + 0,9 • T
oder einfacher
0 = −0,4 • F + 0,1 • T,
0 = 0,4 • F − 0,1 • T.
Offensichtlich drücken diese beiden Gleichungen das selbe aus und reichen folglich nicht, um F und T zu bestimmen. Allerdings haben wir ja noch die Bedingung F + T = 1. Damit hat das Gleichungssystem
0 = −0,4 • F + 0,1 • T,
1 = F + T
eine eindeutige Lösung und zwar F = 0,2 und T = 0,8
Aufgabe:
Wie muss ein Weihnachtsbaumverkäufer sein Sortiment gestalten, um den richtigen Anteil an Tannen und Fichten zu haben? Konkret, wenn ein Weihnachtsbaumhändler nur Tannen und Fichten anbietet, welchen Anteil an seinem Sortiment soll jede Baumart haben?
Antwort:
Er muss 20 Prozent Fichten und 80 Prozent Tannen im Sortiment führen.
Der Gewinner vom 6. Dezember "Der richtige Weihnachtsbaum" ist:
Julius Geppert aus Darmstadt
Es gab insgesamt 380 Einsendungen. Fast alle Teilnehmer haben richtig geantwortet.
Lösung:
Wir bezeichnen die Anteile der gekauften Fichten in Jahr n mit fn und der Tannen mit tn. Dann gilt schonmal tn + fn = 1. Außerdem wissen wir, dass sich der Anteil der Fichtenkäufer aus 60 Prozent der Fichtenkäufer des Vorjahresund zehn Prozent der Tannenkäufer des Vorjahres zusammensetzt. Es gilt also (1)
fn+1 = 0,6 • fn + 0,1 • tn
Analog gilt bei den Tannenkäufern, dass 90 Prozent der Tannenkäufer des Vorjahres dabei sind und 40 Prozent der Fichtenkäufer. Folglich gilt (2)
tn+1 = 0,4 • fn + 0,9 • tn
Wenn, wie in der Aufgabe behauptet, der Anteil der Tannen- und Fichtenkäufer über die Jahre konstant ist, dann können wir annehmen, dass
fn = fn+1 = F und tn = tn+1 = T
Eingesetzt in die beiden Gleichungen (1) und (2) ergibt sich das Gleichungssystem
F = 0,6 • F + 0,1 • T
T = 0,4 • F + 0,9 • T
oder einfacher
0 = −0,4 • F + 0,1 • T,
0 = 0,4 • F − 0,1 • T.
Offensichtlich drücken diese beiden Gleichungen das selbe aus und reichen folglich nicht, um F und T zu bestimmen. Allerdings haben wir ja noch die Bedingung F + T = 1. Damit hat das Gleichungssystem
0 = −0,4 • F + 0,1 • T,
1 = F + T
eine eindeutige Lösung und zwar F = 0,2 und T = 0,8