Freitag, 29. März 2024


Mehr Platz für Rudolph und Co.

Der Platzbedarf moderner Gesellschaften geht auch an den Rentieren des Weihnachtsmanns nicht spurlos vorüber. Rudolph, Voxen und die anderen wollen ein größeres Gehege und endlich hat der Weihnachtsmann eingewilligt. Sparsam wie er ist, will er aber den Zaun des Alten weiterverwenden und nur so viel Baumaterial wie unbedingt nötig hinzukaufen.

Von Hajo Broersma und Judith Keijsper | 16.12.2012
    Der Weihnachtsmann will sein altes rechteckiges Rentiergehege vergrössern. Rentier Rudolf schlägt vor: "Wir könnten doch ein neues rechteckiges 117x143-Meter-Gehege derart um das alte Gehege herum bauen, dass jede Ecke des alten Geheges auf einer anderen Kante des neuen Geheges zu liegen kommt." Rentier Voxen macht sofort einen Gegenvorschlag: "Wir könnten aber auch ein neues rechteckiges 143x147-Meter-Gehege um das alte herum bauen, sodass jede Ecke des alten Geheges auf einer anderen Kante des neuen zu liegen kommt." Der Weihnachtsmann ist von beiden Vorschlägen nicht sonderlich begeistert und lenkt das Gespräch rasch in eine andere Richtung: "Auf jeden Fall werden wir den Zaun des alten Geheges abbauen, mit diesem Material einen Teil des neuen Geheges umzäunen und uns auf diese Art viel Geld sparen." Und dann brummt er noch: "Wenn ich bloß wüsste, wie lang der alte Zaun ist!"

    Aufgabe:

    Wie groß ist der Umfang u des alten Geheges gerundet auf ganze Meter?

    Antwort:

    Der Umfang u des alten Geheges beträgt auf ganze Meter gerundet 411 Meter.
    Der Gewinner ist Reinhold Müller aus Leipzig. Insgesamt haben wir 80 Zuschriften erhalten, von denen 62 richtig waren.

    Lösung:

    Das alte Rechteck/Gehege ABCD mit Seitenlängen AB>AD sei einem neuen Rechteck/Gehege EFGH derart einbeschrieben, dass A auf EF, B auf FG, C auf GH und D auf HE liegt. Wir definieren l=EF=HG, b=FG=EH, x=EA und y=ED. Die beiden Dreiecke ΔADE und ΔCBG sind dann kongruent, und die beiden Dreiecke ΔBAF und ΔDCH sind ebenfalls kongruent. Weiterhin sind die Dreiecke ΔADE und ΔBAF ähnlich zu einander.

    Ihr Ähnlichkeitsfaktor beträgt

    q=AB/AD≥1

    Er hängt nur vom alten Rechteck ABCD ab. Aus der Ähnlichkeit erhalten wir

    AF=qy und
    BF=qx

    Die beiden Gleichungen

    EA+AF=EF
    und
    FB+BG=FG

    liefern uns nun

    x+qy=l
    und
    qx+y=b,

    was zu folgenden Gleichungen führt:

    (q2-1)x=qb-l

    und

    (q2-1)y=ql-b

    Für das alte Rechteck ABCD erhalten wir mit dem Pythagoras unsere Hauptgleichung

    (1) (q2-1)2AD2 = (q2-1)2(x2+y2) = (qb-l)2 + (ql-b)2
    = q2(b2+l2)-4blq+(b2+l2)


    Nun setzen wir die Daten der beiden neuen Rechtecke/Gehege in die Hauptgleichung ein und erhalten für b=117 und l=143 respektive für b=143 und l=147 die beiden Gleichungen

    (2) (q2-1)2AD2 = 34138q2 - 66924q + 34138
    (3) (q2-1)2AD2 = 42058
    q2 - 84084q + 42058

    Gleichsetzen der beiden rechten Seiten der Gleichungen (2) und (3) liefert die quadratische Gleichung

    7920q2 - 17160q + 7920 = 1320?(62-13q+6) = 0

    Deren Lösungen sind: q1=3/2 und q2=2/3. Aus q≥1 schließen wir q=q1=3/2. Wenn wir diesen Wert von q in Gleichung (2) einsetzen, erhalten wir AD=26√10 und weiterhin AB=q?AD=39√10. Der Umfang des alten Rechtecks/Geheges ABCD beträgt daher

    u = 2(AB+AD) = 2(26√10+39√10) = 130√10 ≈ 411,0960958

    Auf ganze Meter gerechnet sind es also 411 Meter.
    Rentiergehege alt und neu
    Rentiergehege alt und neu (Matheon)