In diesem Jahr hat der Weihnachtsmann 2.107.553.276 Kinder zu beschenken. Für jedes Kind hat er im großen Lager einen Sack mit Geschenken. Jeder Sack enthält mindestens vier Geschenke, und von denen gibt es eine ganze Menge. Den Wichteln ist aufgefallen, dass je fünf Säcke allesamt ein gleiches Geschenk enthalten.
Aufgabe:
Wie viele Säcke kann man mindestens finden, die alle ein Geschenk gemeinsam haben?
5
6
10
15
1/6 ⋅ 2.107.553.276
1/3 ⋅ 2.107.553.276
1/2 ⋅ 2.107.553.276
2.107.553.270
2.107.553.275
2.107.553.276
Antwort:
Alle Säcke enthalten ein gemeinsames Geschenk. Der Gewinner ist Helge Keller aus Karlsruhe.
Lösung:
Die Aufgabe enthielt leider eine kleine Unklarheit, für die wir uns vielmals entschuldigen wollen. Aus der von uns gewählten Formulierung geht nicht eindeutig hervor, dass ein Sack mit genau vier Geschenken überhaupt im Lager existiert. Es könnte sein, dass alle Säcke mehr als vier Geschenke enthalten. Die Existenz eines solchen "Vierersackes" ist für unsere Lösung aber wesentlich.
Wäre die Antwort nicht 2.107.553.276, könnte man nämlich einen Sack S mit vier Geschenken wählen, zum Beispiel
S={A, B, C, D}
Zu Geschenk A müsste es dann einen Sack SA geben, der A nicht enthält. Solche Säcke gäbe es dann auch für die Geschenke B, C und D, wir nennen sie SB, SC, SD. Wir hätten damit also fünf Säcke gefunden, S, SA, SB, SC und SD, die kein gemeinsames Geschenk enthalten - ein Widerspruch zu dem, was die Wichtel festgestellt haben.