Kletzki hatte unter anderem in Berlin studiert; seine Karriere geriet jedoch aus der Bahn, als er wegen seiner jüdischen Herkunft Deutschland verlassen musste. Kletzki gab das Komponieren zugunsten des Dirigierens auf und ließ sich 1947 in der Schweiz nieder. Er arbeitete fortan weltweit als Gastdirigent, feste Positionen übernahm er beim Liverpool Philharmonic Orchestra, dem Dallas Symphony Orchestra und dem Orchestre de la Suisse Romande als Nachfolger von Ernest Ansermet. Die Diskografie des Dirigenten ist überschaubar, bedeutend sind unter anderem die von Produzent Walter Legge betreuten Aufnahmen für EMI und ein Beethoven-Sinfonienzyklus mit der Tschechischen Philharmonie.