Das quadratische Fenster (Seitenlänge ein Meter) eines Einfamilienhauses soll weihnachtlich bemalt werden. Die Zeichnung besteht aus einem kleineren Viereck, welches sich aus der folgenden Skizze ergibt.
Aufgabe:
Wie viele Flaschen Fenstermalfarbe braucht man, wenn man davon ausgeht, dass die Punkte P , Q, R und S die Mittelpunkte der Fensterseiten sind und eine Flasche Farbe fü̈r 10 Quadratdezimeter reicht.
Antwort
Es werden zwei Flaschen Fenstermalfarbe benötigt.
Der Gewinner ist Daniel Korte. Insgesamt erreichten 580 Einsendungen die Redaktion.
Lösung
Zur Illustration dient die folgende Abbildung.
Wir drehen das Dreieck QCX um 180 Grad um den Punkt Q. Da Q der Mittelpunkt von BC ist, wird dabei C auf B abgebildet. Das Bild von X nennen wir Y . Der Punkt Y liegt also auf der Geraden durch X und Q, und Q ist der Mittelpunkt der Strecke XY . Der Winkel QY B ist gleich dem Winkel QXC, also ein rechter Winkel. Das Viereck XYBZ ist also ein Rechteck. Ferner ist die Strecke BY das Bild der Strecke CX und hat deshalb dieselbe Länge. Aus Symmetriegründen sind CX und BZ gleich lang, also |BZ| = |BY |. Die gleichen Annahmen kö̈nnen wir auf alle kongruenten Dreiecke anwenden. Somit ist XYBZ ein Quadrat mit derselben Seitenlänge wie das graue Quadrat.
Das Dreieck BZC hat also dieselbe Fläche wie das graue Quadrat. Auf dieselbe Weise finden wir noch drei weitere solche Dreiecke, die zusammen mit BZC und dem grauen Quadrat das Quadrat ABCD vollständig und ohne Überlappen bedecken. Insgesamt besteht das Quadrat ABCD also aus fünf gleich großen Teilen. Das graue Quadrat ist deshalb ein Fünftel der Fläche von ABCD, also 0,2 Quadratmeter, das sind 20 Quadratdezimeter. Es werden also 2 Flaschen Fenstermalfarbe benötigt.
