Davis studierte Musik an der Royal Academy of Music in London und am King’s College in Cambridge. Dabei faszinierte ihn besonders die Musik von Komponisten wie Arnold Schönberg und Leoš Janáček.

Der 1944 geborene Dirigent arbeitete bei zahlreichen renommierten Orchestern. Von 1989 bis 2000 war er Chefdirigent des BBC Symphony Orchestra. Zudem war er Ehrendirigent der Sinfonieorchester im australischen Melbourne und im kanadischen Toronto. Im Jahr 2000 trat er bei der BBC in den Ruhestand und zog anschließend mit seiner Frau in die Vereinigten Staaten, um den Posten des Musikdirektors an der Lyric Opera of Chicago zu übernehmen.

Als Unterhalter machte er sich einen Namen durch seine humorvollen Moderationen der Londoner Konzertreihen "Last nights of the Proms". So häufig wie fast kein anderer führte Davis das Publikum durch die Konzerte. Dadurch wurde er einem breiten Fernsehpublikum bekannt.

Das Britische Symphonieorchester würdigte Davis auf der Platform X wörtlich als jahrzentelange "treibende Kraft in der britischen Musik".