Borchard studierte in Deutschland bei Eduard Erdmann und Hermann Scherchen, leitete zunächst gelegentlich Arbeiterchöre und korrepetierte an der Städtischen Oper bei Bruno Walter und an der Staatsoper bei Otto Klemperer in Berlin. Eine erste Anstellung hatte er 1929 als Kapellmeister beim Rundfunkorchester in Königsberg und stand zur Verfügung, als das Berliner Philharmonische Orchester Mitte der 30er-Jahre einen Leiter der populären Sonntags- und Dienstagskonzerte suchte.
Nach dem Krieg schaffte er es, die Berliner Philharmoniker so zu reorganisieren, dass sie bereits am 26. Mai 1945, keine drei Wochen nach der Kapitulation, das erste Konzert unter seiner Leitung geben konnten. Weil er im Krieg aktiv am Widerstand gegen die Nationalsozialisten teilgenommen hatte, konnte er als politisch unbelastet schon 1945 als Chefdirigent der Berliner Philharmoniker eingesetzt werden. Doch es sollten ihm nur noch 120 Tage mit dem Orchester vergönnt sein, bis sein Leben ein tragisches Ende fand: Am 23. August 1945, im Alter von 46 Jahren, wurde er von einem amerikanischen Militärposten versehentlich erschossen.
